TORQUEフォト

正解：39歳

hhさん、貸枕さん、まっちゃさんが正解です。

本文中のヒントに「昭和生まれです。」があります。
昭和は1989年(昭和64年)の1月7日が最終日です。
その翌日1989年1月8日から平成が始まりました。
平成は2019年(平成31年)の4月30日が最終日です。
その翌日2019年5月1日から令和が始まりました。
昭和64年＝平成元年(1年)。平成31年＝令和元年(1年)です。
では、今現在 昭和生まれの最年少はいくつでしょうか？
1988年1月8日に生まれたかたが、最後の昭和生まれです。
現在は2026年ですから、2026－1989＝37 で37歳です。
昭和生まれの人は全て37歳以上なので、問題のまさこさんの年齢を37歳として計算すれば、正解の39歳はすぐに見つかりますね。

※ここからは数学的な解法を解説しますので、ご興味のあるかたのみ、お時間に余裕ができたら読んでみて下さい。

問題では平方根が1639となっていますので、
(年齢)(年齢+1)(年齢+2)(年齢+3)＋1 の値は、1639の2乗なので 2,686,321です。
まさこさんの年齢をxという文字で置くと、
(x)(x+1)(x+2)(x+3)+1= 2,686,321 です。
この式の左辺を展開すると、
(x^2+x)(x^2+5x+6)+1=x^4+6x^3+11x^2+6x+1となるので、
x^4+6x^3+11x^2+6x+1=2,686,321 …① です。
この式を①としｘの値を求めます。

解法１
右辺の2,686,321を左辺に移行して、
x^4+6x^3+11x^2+6x-2,686,320=0
この4次方程式を解くためにｘの値をみつけるのですが、
ｘの値の少なくとも1つは正の整数ですから(年齢なので)、候補は「定数項の±約数÷最高次数の±約数」が整数となるものの中に存在します。
定数項の2,686,320を素因数分解すると、2^4×3^2×5×7×13×41 です。
ヒントよりｘの値は37以上ですが、37は素数なので素因数分解の中に無いので不適。
次の候補は38ですが 38=2×19。19は素数なのでこれも素因数分解の中にないので不適。
その次の候補は39ですが、39=3×13です。3も13も素因数分解の中にありますので、39が答えとなります。

解法1は「ヒントからｘの値は37以上」という条件の元で、ｘの候補が絞りやすくなっていることを利用しています。
もしノーヒントでしたら、素因数分解した240個の約数の中から候補を見つけるのは大変だと思います。
ヒントなどが無いケースでの解法も解説します。

解法２
①の式 x^4+6x^3+11x^2+6x+1=2,686,321 の左辺に注目します。
各項の係数が候べきの順から１，６，１１，６，１と左右対称となっております。
このような式は、数学では「相反方程式(そうはんほうていしき)」と呼ばれております。
４次方程式をヒント無しで解くのは大変ですので、この式が相反方程式ということを利用して式全体をx^2で割ります。
この場合ｘの値は年齢なので0ではありませんから、両辺を0で割っても問題ありあません。
ｘ≠０より、式全体をx^2で割ると、
x^2+6x+11+6/x+1/x^2 = 2,686,321/x^2
この式の左辺の各項を以下のように並べ替えると、
(x^2+1/x^2)+6(x+1/x)+11= 2,686,321/x^2
ここで左辺を「 x+1/x = y 」とｙに置き換えて整理すると、
(y^2-2)+6y+11=2,686,321/x^2
y^2+6y+9 = 2,686,321/x^2
この式の左辺は (y+3)^2 と因数分解でき、右辺も(1639/x)^2と2乗の形ですから、両辺を開平して、
y+3=1639/x
yを元の x+1/x へ戻すと、
x+1/x+3=1639/x
両辺にｘを掛けて分母をはらい整理すると、
x^2+1+3x=1639 ⇒ x^2+3x-1638=0
この式は2次式ですので、「2次方程式の解の公式」を使って解くことができます。
解いてみると x=39,x=-42 となります。
問題よりｘは年齢なので負の値ではありませんから、ｘ=39のほうが正解となります。

解法３
解法２では与式が相反方程式であることを利用して４次の相反方程式の解き方を利用しました。
ですが、「相反方程式」をAIに尋ねてみると、旧帝大（東京大学・京都大学・名古屋大学等）や難関国公立大学、早稲田・慶応大等の難関私立大学、それと上級医学部などの受検の経験の無いかたには、相反方程式はあまり馴染みが無いかもしれませんと言ってます。
実は問題文にある「その数の平方根を求めると1639となりました。」により、①の左辺である 「x^4+6x^3+11x^2+6x+1」が、二乗の形に因数分解できるのは自明なのです。
「x^4+6x^3+11x^2+6x+1」が、二乗の形に因数分解できるとしたら、その高次式の最高次数は二次で係数は1ですから、①の左辺は、
「 (x^2+ax+b)^2 」と書けることになります。
これを展開すると、
x^4+2ax^3+(a^2+2b)x^2+2abx+b^2 となります。
「x^4+6x^3+11x^2+6x+1」と「x^4+2ax^3+(a^2+2b)x^2+2abx+b^2」の各項を係数比較すると、
2a=6, (a^2+2b)=11, 2ab=6, b^2=1 より、
a=3,b=1 が分かります。
これにより、①の式は、
(x^2+3x+1)^2=2,686,321=1639^2
両辺を開平して整理すると、
x^2+3x+1=1639 ⇒ x^2+3x-1638=0
これで解説2と同じ結果になりましたので、この先は同じように二次方程式の解を利用して解くことができます。

解法2の解法は、
「これって展開すると相反方程式になってるから、それを利用して解けるかも？」
と思いついたので、試しに今朝やってみたら解けました。
ですが、やはり一般的では無いようでネットで問題を検索してみましたが、そのような解法は見当たりませんでした。
ちなみに、AIの回答では、
(x)(x+1)(x+2)(x+3)+1=(x^2+3x+1)^2
と因数分解していましたが、その因数分解の過程は書いてありませんので、
「どんな流れでそのような形に式変形できるのか？」
を、さらにAIに聞いてみないとダメでしょうね。

ヒントがあるなら解法１、無いなら解法３の方法が効率的だと思います。

今回はたくさんのコメントいただき、皆さまどうもありがとうございましたm(_ _)m

たとえ解けなくても、遠慮しないでコメントして下さい。
コメントを下さったかたには、私が正解発表のコメントを公開するときに、メンションさせていただきます(笑)

我らが姫様の年齢は 39 と出ました 🫡

『サンキュー』の意味が分かりました 😅

永遠の16歳！

伊代はまだ16だから…🎶💃
センチメンタルなジャーニー

昭和のアイドル

15の夜かもしれない
盗んだバイクで走り出す…🎶

√5はBARBEE BOYS🎶

自分の感を信じて、、、

41歳‼️😀🍺

=39 と出ました😃
（hhさんの解法がゴイス〜笑）

───────────

とてもすんなりとはいかないアナログ脳みそでした（恥）

サンキュ～(笑)～適当に入れて実計算～(笑)

ワイは‥
もう‥
引退や‥ｶﾞｸｯ🫩💦

今回のはわりとすんなりイケるかも…少々お時間をください🙏