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正解：1854通り。

この問題は7名の席替えをいきなり計算しようとすると大変ですね。
本文に書いたように、少ない人数から順に計算して、一人づつ人数を増やす方法で算出します。

まずは会員０名と１名なら、席替えは必用ありませんから除外。
次に２名を考えると、お互いが入れ替わるしか席替えはありません。
A-B ⇒ B-A
よって２名の場合の席替え方法は1通り。

次に３名を考えると、まずAさんの席にBさんが移り、Bさんの席がCさんが移り、Cさんの席にAさんが移るの方法が1つ。
残りの方法は、Aさんの席にCさんが移り、Bさんの席にAさんが移り、Cさんの席Bさんが移る方法。
A-B-C ⇒ B-C-A、C-A-B
よって３名の場合の席替えの方法は２通り。

さて、ここまでは紙とペンで実際に書いて調べれば、比較的簡単に求まります。
問題は4名以上になった A-B-C-D…ｎの場合ですね。
では4名の場合の算出方法を解説します。

最初にA-B-C-Dと並んでいるAとBをまずと入れ替えます。
次にC-Dを入れ替えるのですが、その方法は何通りでしょうか？
2名を入れ替える方法は先程見たように1通りです。

ここまでで完成したB-A-D-Cでまず1通りあるのですが、Aを最初にCやDと入れ替える方法もあり、その場合にも残りを入れ替える方法は各１通り。
全部でBADC,CDAB,DCBAの3通りがあります。
これを①とします。

次に考えるのは、最初にAと入れ替えた直後にA以外の3箇所の入れ替え方法です。
A-B-C-DからB-A-C-Dにして、この時に前から2番目に置いたAはそのままにして、その他の3名を入れ替える方法を考えます。
3名の入れ替え方法は前に見たように2通りです。
最初に入れ変えるAの位置は全部で３箇所ありますから、3×2=6 で6通りの入れ替え方法があります。
これを②とします。

①+②=3+6=9 なので4名の席替え方法は9通りとなります。
今までの手順でｎ名の場合を考えると、ｎ名の席替え方法の数をDｎと表すと、
Dｎ＝(n－１){ (Dn-1) + (Dn-2) ｝
となります。

5名の場合は今算出した4名の場合のD4=9を使って、
D5=(5-1){ 9+2 }=4×11=44
5名の場合は44通りの席替え方法があります。

6名の場合も先に算出した5名の場合のD5=44を使って計算し、7名の場合もD6で出した数を使って計算します。

この席替えの方法は数学では「完全順列」「撹乱順列」もしくは「モンモール数」と呼ばれておりますので、興味のあるかたはネットで検索してみて下さい。

実は順番に数えていかなくても、Dｎ＝(n－１){ (Dn-1) + (Dn-2) ｝という漸化式を解くと、一般項を算出できる式が得られますが、その漸化式を解く過程が複雑過ぎて私には解説できません(汗)

大学受検で出題されることもあるようですが、試験時間の関係で4名くらいまでのようなので、
順番に０，１，２，９，４４という数値を「おい肉良し＝０１２９４４」と語呂合せで暗記しておけと教える先生もいるとか…？

コメントくださった皆さま、どうもありがとうございましたm(_ _)m

ダブった子が居るので計算不能💥😀🍺💦

確か、式的には・・・・
7×６×５×４×３×２×１　でしたっけ？
式が合っていれば　５０４０
座席って・・・円形で座る場合は・・・・
７２０通り

≒ 147 とおり（ざっくり💦）