おはようございます☁️☕💕🥪
お盆休みも終わりましたね🎐
お休み企画『頭の体操シリーズ』にコメント下さった皆さま、どうもありがとうございましたm(_ _)m
最後に番外編として数学が得意なかた向けの出題をしたいと思います。
問題
次の方程式を解け。
X^4 － 4X^3 ＋ 5X^2 － 4X ＋ 1 ＝ 0
高校の定期試験や大学入試の問題に出て来そうですよね💯
ヒント：頑張って三次式以下の積の形に因数分解して、それそれの因数が=０となるXを求めます。
※ 答えをコメントされるかたは、解法や途中式の記述を省いて、Xの値だけを書いて下さっても構いません✒️
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投稿を表示正解：x = ( 1±√3i ) / 2、x = ( 3 ± √5) / 2 iは虚数単位。
x≠0なので、式全体をx^2で割ると、
x^2-4x+5-4/x+1/x^2=0 となります。
各項を並べ替えると、
( x^2 + 1/x^2 ) - 4 ( x + 1/x ) + 5 = 0
ここで ( x + 1/x ) = t とおくと、
t^2 - 4t + 3 = 0
この式は因数分解できるので、
( t - 1 )( t - 3 ) = 0
t = 1,3
t = ( x + 1/x ) なので、
( x + 1/x ) =7 , ( x + 1/x ) = 3
x^2 + 1 = x , x^2 + 1 = 3x
x^2 - x + 1 =0 , x^2 -3x +1 = 0
この2つの二次方程式を解の公式を使って解き、
x = ( 1±√3i ) / 2、x = ( 3 ± √5 ) / 2 iは虚数単位。
この解法は、相反方程式という候べきの順に各項を並べた時の係数が対称になっている事を利用して因数分解を行っております。
他の解法として与式は、
（ｘ－１）^4 － x^2 ＝ ０
と書き直すことができるので、さらに、
［（ x－１)^2 ]^2 － x^2 ＝ ０
と書き換え「二乗－二乗」の形より、和と差の積
( x^2 ー x + １ ）（ x^2 ー ３x + １）
と二次式の積の形に因数分解できるので、
やはり解の公式が利用できます。
にしもん様のコメントの、「ｘ＝０ではない」は大事ですよね。
それによって、式全体をx^2で割ることができますから。
まっちゃさんのコメントにある、「夏休み後半を返上して…」というのも、いい思い出ですね。
統計の問題は好きではありませんが、場合の数・確率の問題はまた出題したいと思います。
QUETORさんのコメントの「…右辺は6,461です。」は、ｘ=10という整数解を1つ持つためには、そうかもしれません。
ですが、今回は方程式の問題ですので、「その式は成り立ちません！」ではなく、成り立っていたらどんな解になるのかを、算出して欲しかったです…💦
また次回 挑戦願います。
🦊キツネさんのコメントは、分かる人には分かる内容ですね🏎️
フェラーリの公式サイト⇒フェラーリの公式⇒イタリア人数学者「フェラーリ」の４次方程式の解の公式。
フェラーリの４次方程式の解の公式を利用すれば解けるという意味ですね。
三次方程式の解の公式を世に公開した『カルダノ』のお話しも、オモシロそうですよねっ！
【カルダノ ── 偶然を計算した男｜賭博から確率を、『解けない方程式』から虚数を生んだ波乱の生涯】
https://youtu.be/Ha1ctt7IYRQ?si=2_qF4w1QdZG5fj_z
コメント下さった皆様、どうもありがとうございましたm(_ _)m。
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投稿を表示単に数学ではなく「頭の体操」との事なので、私はその線で考えさせて頂きました。
『先生、間違ってます！
左辺の示す数値は0ではなく6,461です。
なのでその式は成り立ちません！』
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投稿を表示https://www.ferrari.com/ja-JP
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投稿を表示夏休み後半に休み返上で学校に出席してこういう問題をたくさん授業受けてました。
当時は出来たと思うけど解き方はもう忘れました。特に微分積分の授業は難しく苦手でした。
確率統計の授業は面白かった。
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投稿を表示最後に➕️1があるから単純にX=0では無さそうです😀☕