おはようございます☁️
本日の問題です💯
問題
約数を全て足すと195となり、
約数の逆数をすべて足すと65/24となる整数は
何でしょうか。
2021年 甲陽学院中学校 入試問題
※逆数とは、その数に掛けると「１」になる数です。
(例)：３の逆数は1/３、５の逆数は１/5です。
この問題は中学入試の経験がなくても、高校数学の「約数の個数と全ての和」の計算を知っている人は、楽に解けるかも‥🤔
試しに小さめ目の数「６や１２」などで、約数とその逆数の和を計算してみるとイイかもしれませんね💪
では、解けたかたも解けないかたも、コメントお待ちしておりまーす✉️
※正解発表は本日夜を予定しております👍️
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投稿を表示約数を全て足すと195となり、約数の逆数をすべて足すと65/24となる整数は。試しに小さめ目の数「６や１２」などで。
1+2+3+6=12
1/1+1/2+1/3+1/6=
6/6+3/6+2/6+1/6=12/6=2
1+2+3+4+6+12=28
1/1+1/2+1/3+1/4+1/6+1/12=
12/12+6/12+4/12+3/12+2/12+1/12=28/12=7/3
う～んう～ん～だから～？(笑)
ここで答をカンニングして思い付いたのが！12/2=6
28/(7/3)=28/1/(7/3)=84/7=12！
195/(65/24)=195/1/(65/24)=
4680/65=72
あ～、問題では、約数の和＝195ですが、逆数の和は65/24となっています。これは、逆数の和が通分された結果ですので、分子を195に戻すには、分子分母に３を掛けて、195/72。
こっちの方が早い～(笑)
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投稿を表示今回、全く解けませんでした。
約数のことは今回初めて知りました。
解答から検証してみました。
72＝2×2×2×3×3
＝2^3×3^2
72の約数を求める方法は、以下の通りで良いのでしょうか。
・2^0×3^0＝1×1＝1
・2^0×3^1＝1×3＝3
・2^0×3^2＝1×9＝9
・2^1×3^0＝2×1＝2
・2^1×3^1＝2×3＝6
・2^1×3^2＝2×9＝18
・2^2×3^0＝4×1＝4
・2^2×3^1＝4×3＝12
・2^2×3^2＝4×9＝36
・2^3×3^0＝8×1＝8
・2^3×3^1＝8×3＝24
・2^3×3^2＝8×9＝72
72の約数は、小さい数字から並び替えると以下の様になります。
1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72
72の約数の合計は、以下の様になります。
1＋2＋3＋4＋6＋8＋9＋12＋18＋24＋36＋72＝195
一方、72の逆数は以下の通りです。
1/1、1/2、1/3、1/4、1/6、1/8、1/9、1/12、1/18、1/24、1/36、1/72
72の逆数の合計は、以下の様になります。
1/1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/6＋1/8＋1/9＋1/12＋1/18＋1/24＋1/36＋1/72
分数のままで計算すると大変なので、一度、全体に72をかけます。
72×(1/1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/6＋1/8＋1/9＋1/12＋1/18＋1/24＋1/36＋1/72)
＝72＋(72/2)＋(72/3)＋(72/4)＋(72/6)＋(72/8)＋(72/9)＋(72/12)＋(72/18)＋(72/24)＋(72/36)＋(72/72)
＝72＋36＋24＋18＋12＋9＋8＋6＋4＋3＋2＋1
＝195
この合計の195を72で割り元に戻します。
195/72
＝(65×3)/(24×3)
＝65/24
検証は成功しました。
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投稿を表示正解：72
貸枕さんより正解のコメントを頂いております。
解説
約数とはその数自身も入りますので、約数の逆数を全て加えれば分母は元の数自身です。
ですから、
約数の逆数の和 ＝ (約数の和) / (元の数)
という関係になっています。
問題では、約数の和＝195ですが、逆数の和は65/24となっています。
これは、逆数の和が通分された結果ですので、
分子を195に戻すには、分子分母に３を掛けて、195/72。
よって、もとの数は 72。
コメント下さった皆さま、どうもありがとうございましたm(_ _)m
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投稿を表示76💥😀⁉️
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投稿を表示おはようございます。
分数の足し算や掛け算は、超不得意なんですけど、やってみます😃
先生✋️、
たとえば、６の約数は「1、2、3、6」の４つで、それぞれの逆数は「1/1、1/2、1/3、1/6」の４つある。という理解で合ってますか？